Exemple : déterminer les coordonnées d'un point dans un repère de l'espace

Exemple

Soit \(\mathrm{ABCDEHGF}\) un cube.

Soit \(\mathrm{I}\), \(\mathrm{J}\), \(\mathrm{K}\) les milieux respectifs des segments \(\mathrm{[AB]}\), \(\mathrm{[BC]}\) et \(\mathrm{[FG]}\).
Soit \(\mathrm{L}\) le centre de la face \(\mathrm{BCGH}\). 
On se place dans le repère orthonormé \(\mathrm{\left(A~;\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE}\right)}\).
1. Déterminer les coordonnées de chacun des sommets du cube.
2. Déterminer les coordonnées des points \(\mathrm{I}\), \(\mathrm{J}\), \(\mathrm{K}\) et \(\mathrm{L}\).
3. Déterminer les coordonnées du vecteur \(\mathrm{\overrightarrow{LK}}\).

Solution

1. Le point \(\mathrm{A}\) est l'origine du repère, donc \(\mathrm{A(0~;~0~;~0)}\).
\(\mathrm{\overrightarrow{AB}}\) est le premier vecteur de la base, \(\mathrm{\overrightarrow{AD}}\) est le deuxième vecteur de la base, \(\mathrm{\overrightarrow{AE}}\) est le troisième vecteur de la base.
\(\mathrm{\overrightarrow{AB} = 1\overrightarrow{AB}+0\overrightarrow{AD}+0\overrightarrow{AE}}\), donc \(\mathrm{B(1~;~0~;~0)}\).

\(\mathrm{\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} =\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = 1\overrightarrow{AB} + 1\overrightarrow{AD} + 0\overrightarrow{AE}}\), donc \(\mathrm{C(1~;~1~;~0)}\).

\(\mathrm{\overrightarrow{AD}=0\overrightarrow{AB}+1\overrightarrow{AD}+0\overrightarrow{AE}}\), donc \(\mathrm{D(0~;~1~;~0)}\).

\(\mathrm{\overrightarrow{AE}=0\overrightarrow{AB}+0\overrightarrow{AD}+1\overrightarrow{AE}}\), donc \(\mathrm{E(0~;~0~;~1)}\).

\(\mathrm{\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AE} +\overrightarrow{EF} =\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AD}=0\overrightarrow{AB} +1\overrightarrow{AD}+1\overrightarrow{AE}}\), donc \(\mathrm{F(0~;~1~;~1)}\).

\(\mathrm{\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CG} = 1\overrightarrow{AB}+1\overrightarrow{AD}+1\overrightarrow{AE}}\), donc \(\mathrm{G(1~;~1~;~1)}\).

\(\mathrm{\overrightarrow{AH} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BH} = 1\overrightarrow{AB} + 0\overrightarrow{AD} + 1\overrightarrow{AE}}\), donc \(\mathrm{H(1~;~0~;~1)}\).

2. \(\mathrm{\overrightarrow{AI}=\dfrac12\overrightarrow{AB}}\), donc \(\mathrm{I\left(\dfrac12~;~0~;~0\right)}\).

\(\mathrm{\overrightarrow{AJ} = \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BJ} = \overrightarrow{AB}+\dfrac12\overrightarrow{AD}}\), donc \(\mathrm{J\left(1~;~\dfrac12~;~0\right)}\).

\(\mathrm{\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FK} = \dfrac12\overrightarrow{AB}+1\overrightarrow{AD}+1\overrightarrow{AE}}\), donc \(\mathrm{K\left(\dfrac12~;~1~;~1\right)}\).

\(\mathrm{\overrightarrow{AL} = \overrightarrow{AJ} +\overrightarrow{JL} =\overrightarrow{AB} +\dfrac12\overrightarrow{AD} +\dfrac12\overrightarrow{AE}}\), donc \(\mathrm{L\left(1~;~\dfrac12~;~\dfrac12\right)}\).

3. \(\mathrm{\overrightarrow{LK}} = \mathrm{\overrightarrow{LA}+\overrightarrow{AK}}\)
\(\mathrm{\overrightarrow{LK}}=\mathrm{-\overrightarrow{AL}+\overrightarrow{AK}}\)
\(\mathrm{\overrightarrow{LK}}=\mathrm{-\overrightarrow{AB}-\dfrac12\overrightarrow{AD}-\dfrac12\overrightarrow{AE}+\dfrac12\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}}\)
\(\mathrm{\overrightarrow{LK}}=\mathrm{-\dfrac12\overrightarrow{AB}+\dfrac12\overrightarrow{AD}+\dfrac12\overrightarrow{AE}}\)

Donc \(\mathrm{\overrightarrow{LK}}\begin{pmatrix} -\dfrac12 \\\dfrac12 \\ \dfrac12\\\end{pmatrix}\).